Martingale (تئوری احتمال)

در تئوری احتمال ، مارتینگال الگویی از یک بازی عادلانه است که هیچ دانش از وقایع گذشته نمی تواند به پیش بینی برنده های آینده کمک کند. به طور خاص ، یک مارتینگیل دنباله ای از متغیرهای تصادفی (یعنی یک فرآیند تصادفی) است که برای آن ، در یک زمان خاص در دنباله تحقق یافته ، انتظار مقدار بعدی در دنباله برابر با مقدار مشاهده شده فعلی است حتی با توجه به دانشتمام مقادیر قبلی مشاهده شده در زمان فعلی.

در مقابل ، در فرایندی که یک مارتینگال نیست ، ممکن است هنوز هم چنین باشد که مقدار مورد انتظار روند در یک زمان برابر با ارزش مورد انتظار روند در زمان بعدی باشد. با این حال ، دانش در مورد نتایج قبلی (به عنوان مثال ، تمام کارتهای قبلی که از یک کارت کارت گرفته شده است) ممکن است قادر به کاهش عدم اطمینان نتایج آینده باشد. بنابراین ، در صورت استفاده از استراتژی برنده ، ارزش مورد انتظار نتیجه بعدی با توجه به دانش موجود و تمام نتایج قبلی ممکن است بالاتر از نتیجه فعلی باشد. Martingales امکان برنده شدن استراتژی های مبتنی بر تاریخ بازی را حذف می کند و بنابراین آنها الگویی از بازی های عادلانه هستند.

در ابتدا ، مارتینگاله به طبقه ای از استراتژی های شرط بندی اشاره کرد که در قرن 18th فرانسه محبوب بود. [1] [2]ساده ترین این استراتژی ها برای یک بازی طراحی شده است که در آن قمارباز برنده سهام خود می شود اگر سکه به سر بیاید و اگر سکه به وجود بیاید ، آن را از دست می دهد. این استراتژی این قمار را پس از هر باخت دو برابر کرده است تا اولین برد تمام ضررهای قبلی را به همراه کسب سود برابر با سهام اصلی بدست آورد. از آنجا که ثروت قمارباز و زمان موجود به طور مشترک به بی نهایت نزدیک می شود ، احتمال وی در نهایت سر زدن به سران به 1 نزدیک می شود ، که باعث می شود استراتژی شرط بندی مارتینگاله مانند یک چیز مطمئن به نظر برسد. با این حال ، رشد نمایی شرط ها در نهایت کاربران خود را ورشکسته می کند. حرکت Brownian Stuted ، که یک فرآیند Martingale است ، می تواند برای مدل سازی مسیر چنین بازی هایی استفاده شود.

مفهوم Martingale در تئوری احتمال توسط پل پیر لوی معرفی شد و بخش عمده ای از پیشرفت اصلی این تئوری توسط جوزف لئو دووب در میان دیگران انجام شده است. بخشی از انگیزه این کار نشان دادن عدم امکان استراتژی های شرط بندی موفق بود. تعاریف

یک تعریف اساسی از یک مارتینگل در زمان گسسته ، یک فرآیند تصادفی در زمان گسسته است (یعنی دنباله ای از متغیرهای تصادفی) x₁، ایکس₂، ایکس₃،که برای هر زمان رضایت می دهد ،

\ (\ mathbf (x_ \ mid x_1 ، \ ldots ، x_n) = x_n ، \)

یعنی ارزش مورد انتظار مشروط مشاهده بعدی ، با توجه به تمام مشاهدات گذشته ، برابر با آخرین مشاهده است. با توجه به خطی بودن انتظار ، این نیاز دوم معادل:

\ (\ mathbf (x_ - x_n \ mid x_1 ، \ ldots ، x_n) = 0 ، \)

که بیان می کند که میانگین "برنده" از مشاهده n تا مشاهده n+1 0 است.

به طور کلی ، یک دنباله Y1 ، Y2 ، Y3. گفته می شود که با توجه به دنباله دیگری X1 ، X2 ، X3 یک مارتینگال است. اگر برای همه n

\ (\ mathbf (y_ \ mid x_1 ، \ ldots ، x_n) = y_n. \)

به طور مشابه ، یک مارتینگال به موقع با توجه به فرآیند تصادفی XT یک فرآیند تصادفی است به گونه ای که برای همه t

\ (\ mathbf (y_ \ mid \< X_, \tau \leq s \>) = y_s ، \ \ forall \ s \ leq t.\)

این خاصیت را بیان می کند که انتظار شرطی از یک مشاهده در زمان t ، با توجه به تمام مشاهدات تا زمان S ، برابر با مشاهده در زمان S است (البته به شرط آنکه S ≤ T باشد). تعریف عمومی

در کلیت کامل ، یک فرآیند تصادفی y: t × ω → S یک مارتینگال با توجه به فیلتراسیون σ ∗ و اندازه گیری احتمال p است

σ ∗ تصفیه فضای احتمال اساسی (ω ، σ ، P) است. y با فیلتراسیون σ ∗ ، یعنی برای هر t در مجموعه شاخص t ، متغیر تصادفی YT یک تابع قابل اندازه گیری σT است. برای هر t ، y در فضای LP L1 (ω ، σt ، p ؛ s) ، یعنی.

برای همه S و T با S< t and all F ∈ Σs,

جایی که χf عملکرد نشانگر رویداد F. را در فرآیندهای Grimmett و Stirzaker و فرآیندهای تصادفی نشان می دهد ، این شرایط آخر به عنوان مشخص شده است

که یک شکل کلی از انتظار مشروط است. [3]

توجه به این نکته حائز اهمیت است که خاصیت مارتینگیل هم شامل فیلتراسیون و هم اندازه گیری احتمال (با توجه به انتظارات) است. این امکان وجود دارد که y با توجه به یک اندازه گیری ، یک مارتینگال باشد اما دیگری نیست. قضیه Girsanov راهی برای یافتن معیاری با توجه به اینکه یک فرایند Itō یک مارتینگال است ، ارائه می دهد.

نمونه هایی از Martingales

• یک پیاده روی تصادفی بی طرف (در هر تعداد ابعاد) نمونه ای از مارتینگال است.

• اگر همه بازی های شرط بندی که قمارباز بازی می کنند عادلانه باشند ، یک ثروت قمارباز (سرمایه) یک مارتینگال است.

• URN Polya حاوی تعدادی تیله رنگی مختلف است و هر تکرار یک مرمر به طور تصادفی از URN انتخاب می شود و با چند مورد دیگر از همان رنگ جایگزین می شود. برای هر رنگ معین ، نسبت تیله های داخل اورن با آن رنگ یک مارتینگال است. به عنوان مثال ، اگر در حال حاضر 95 ٪ از تیله ها قرمز هستند ، اگرچه تکرار بعدی بسیار بیشتر از این است که باعث اضافه شدن تیله های قرمز بیشتر نشود ، این تعصب دقیقاً با این واقعیت متعادل می شود که اضافه کردن تیله های قرمز بیشتر باعث تغییر می شودنسبت بسیار کمتر از اضافه کردن همان تعداد تیله های غیر قرمز.

• فرض کنید x_حرفثروت قمارباز پس از n پرتاب یک سکه منصفانه است ، جایی که قمارباز در صورت بلند شدن سکه ، 1 دلار برنده می شود و اگر سکه به دست بیاید 1 دلار از دست می دهد. پس از محاکمه بعدی ، با توجه به تاریخ ، با ثروت فعلی او برابر است ، با توجه به تاریخ ، با ثروت فعلی او برابر است ، بنابراین این سکانس یک مارتینگال است.

• بگذار y_حرف= x_حرف2 - n که در آن x_حرفثروت قمارباز از مثال قبلی است. سپس دنباله< Y _حرف : n = 1, 2, 3, . >یک مارتینگال استاین می تواند مورد استفاده قرار گیرد تا نشان دهد که افزایش یا از دست دادن کل قمارباز تقریباً بین به علاوه یا منهای ریشه مربع تعداد مراحل متفاوت است.

• (مارتینگاله د Moivre) اکنون یک سکه "ناعادلانه" یا "مغرضانه" فرض کنید ، با احتمال P "سر" و احتمال Q = 1 - P "دم". اجازه دهید

با "+" در مورد "سر" و " -" در مورد "دم". اجازه دهید

سپس< Yn : n = 1, 2, 3, . >یک مارتینگال با توجه به< Xn : n = 1, 2, 3, . >وادبرای نشان دادن این

(آزمایش نسبتاً احتمال در آمار) تصور می شود که جمعیت با توجه به چگالی احتمال F یا چگالی احتمال دیگر توزیع می شود. یک نمونه تصادفی گرفته شده است ، داده های X1 ،. xnبگذارید "نسبت احتمال" باشد

(که در برنامه ها به عنوان یک آمار آزمون استفاده می شود). اگر جمعیت در واقع با توجه به چگالی F و نه مطابق با G توزیع شود ، پس< Yn : n = 1, 2, 3, . >یک مارتینگال با توجه به< Xn : n = 1, 2, 3, . >.

فرض کنید هر آمیب یا به دو آمیب ، با احتمال P تقسیم می شود ، یا در نهایت می میرد ، با احتمال 1 - p. بگذارید XN تعداد آمیب های زنده مانده در نسل نهم باشد (به ویژه XN = 0 اگر جمعیت تا آن زمان منقرض شده باشد). بگذارید R احتمال انقراض نهایی باشد.(پیدا کردن R به عنوان عملکرد P یک تمرین آموزنده است. نکته: احتمال اینکه فرزندان یک آمیب در نهایت از بین بروند ، برابر است با این احتمال که هر یک از فرزندان فوری آن از بین برود ، با توجه به اینکه آمیب اصلی تقسیم شده است.)

یک مارتینگال با توجه به< Xn: n = 1, 2, 3, . >.

سریال Martingale ایجاد شده توسط نرم افزار.

تعداد افراد هر گونه خاص در اکوسیستم با اندازه ثابت تابعی از زمان (گسسته) است و ممکن است به عنوان دنباله ای از متغیرهای تصادفی مشاهده شود. این سکانس یک مارتینگال تحت نظریه خنثی یکپارچه تنوع زیستی است.

اگر< Nt : t ≥ 0 >یک فرآیند پواسون با شدت λ ، سپس فرآیند جبران شده پواسون< Nt − λt : t ≥ 0 >یک مارتینگال به موقع با مسیرهای نمونه راست/چپ و چپ است.

به عنوان مثال سریال Martingale به راحتی با نرم افزار رایانه ای تولید می شود:

مایکروسافت اکسل یا نرم افزار صفحه گسترده مشابه. 0. 0 را در سلول A1 (بالا سمت چپ) وارد کنید و در سلول زیر آن (A2) وارد = A1+Norminv (RAND () ، 0،1) شوید. اکنون آن سلول را با کشیدن به پایین کپی کنید تا 300 نسخه یا بیشتر نسخه ایجاد کنید. این یک سری Martingale با میانگین 0 و انحراف استاندارد 1. ایجاد می کند. با سلولهایی که هنوز هم برجسته شده اند به ابزار ایجاد نمودار می روند و نمودار این مقادیر را ایجاد می کنند. اکنون هر بار که یک محاسبه مجدد اتفاق می افتد (در اکسل کلید F9 این کار را انجام می دهد) نمودار یک سری Martingale دیگری را نشان می دهد. R. برای بازآفرینی مثال فوق ، طرح شماره (cumsum (rnorm (100 ، میانگین = 0 ، SD = 1)) ، t = "l" ، col = "darkblue" ، lwd = 3). برای نمایش سریال Martingale دیگر ، مجدداً این دستور را دوباره ارسال کنید.

Submartingales ، Supermartingales و رابطه با عملکردهای هارمونیک

دو کلیت عمومی از یک مارتینگال وجود دارد که شامل مواردی است که مشاهده فعلی x_nلزوماً برابر با انتظار شرطی آینده نیست [x_n+1|ایکس₁وادایکس_حرف] اما در عوض یک حد بالا یا پایین به انتظار مشروط. این تعاریف نشان دهنده رابطه بین تئوری مارتینگال و نظریه بالقوه است ، که مطالعه عملکردهای هارمونیک است. درست همانطور که یک مارتینگال در زمان مداوم E [x را برآورده می کند_حرف| x_τ : τ≤s>] - x_حرف= 0 ∀ S ≤ t ، یک تابع هارمونیک F معادله دیفرانسیل تصادفی جزئی δ f = 0 را که δ اپراتور لاپلاسی است ، برآورده می کند. با توجه به یک روند حرکت براون W_حرفو یک عملکرد هارمونیک f ، فرآیند حاصل f (w_حرف) همچنین یک مارتینگیل خواهد بود.

Submartingale در زمان گسسته یک دنباله است (x_1 ، x_2 ، x_3 ، \ ldots \) متغیرهای تصادفی یکپارچه رضایت بخش

به همین ترتیب ، یک زیرمجموعه در زمان مداوم برآورده می شود

<>E[X_t|\ : \tau \le s\>] \ ge x_s \ quad \ forall s \ le t.

در تئوری پتانسیل، یک تابع ساب هارمونیک f، Δf ≥ 0 را برآورده می کند. هر تابع زیر هارمونیک که در بالا با یک تابع هارمونیک برای همه نقاط روی مرز یک توپ محدود شده باشد، در بالا با تابع هارمونیک برای همه نقاط داخل توپ محدود می شود. به طور مشابه، اگر یک ساب مارتینگل و یک مارتینگل انتظارات مشابهی برای یک زمان معین داشته باشند، تاریخچه ساب مارتینگل به سمت بالا با تاریخچه مارتینگل محدود می شود. به طور کلی، پیشوند "sub-" سازگار است زیرا مشاهدات فعلی Xn کمتر از (یا مساوی) انتظار شرطی E[Xn+1|X1 است. Xn]. در نتیجه، مشاهدات فعلی پشتیبانی از پایین‌تر از انتظارات مشروط آینده را فراهم می‌کند و روند در زمان آینده افزایش می‌یابد.

به طور مشابه، یک سوپرمارتینگا با زمان گسسته راضی می کند

به همین ترتیب، یک سوپرمارتینگل با زمان مداوم راضی کننده خواهد بود

\( <>E[X_t|\ : \tau \le s\>] \le X_s \quad \forall s \le t.\)

در تئوری پتانسیل، تابع فوق هارمونیک f، Δf ≤ 0 را برآورده می کند. هر تابع فوق هارمونیک که در زیر با یک تابع هارمونیک برای همه نقاط روی مرز یک توپ محدود شده باشد، در زیر با تابع هارمونیک برای همه نقاط داخل توپ محدود می شود. به طور مشابه، اگر یک سوپرمارتینگل و یک مارتینگل انتظارات مشابهی برای یک زمان معین داشته باشند، تاریخچه سوپرمارتینگل با تاریخچه مارتینگل محدود می شود. به طور کلی، پیشوند "super-" سازگار است زیرا مشاهدات فعلی Xn بزرگتر از (یا مساوی) انتظار شرطی E[Xn+1|X1 است. Xn]. در نتیجه، مشاهدات فعلی از انتظارات مشروط آینده پشتیبانی می کند و روند در زمان آینده کاهش می یابد.

نمونه هایی از زیر مارتینگل ها و سوپرمارتینگل ها

• هر مارتینگل یک ساب مارتینگل و یک سوپرمارتینگل نیز هست. برعکس، هر فرآیند تصادفی که هم زیر مارتینگل و هم سوپرمارتینگل باشد، مارتینگل است.
• باز هم قماربازی را در نظر بگیرید که با بالا آمدن یک سکه 1 دلار برنده می شود و با بالا آمدن سکه 1 دلار می بازد. اکنون فرض کنید که سکه ممکن است سوگیری داشته باشد، به طوری که با احتمال p بالا بیاید.
  • اگر p برابر با 1/2 باشد، قمارباز به طور متوسط نه برنده می شود و نه می بازد، و ثروت قمارباز در طول زمان یک مارتینگل است.
  • اگر p کمتر از 1/2 باشد، قمارباز به طور متوسط ضرر می کند و ثروت قمارباز در طول زمان یک سوپرمارتینگل است.
  • اگر p بزرگتر از 1/2 باشد، قمارباز به طور متوسط برنده پول می شود، و ثروت قمارباز در طول زمان یک زیر مارتینگل است.

  Martingales و Stoping Times مقاله اصلی: متوقف کردن زمان

  زمان توقف با توجه به دنباله ای از متغیرهای تصادفی x₁، ایکس₂، ایکس₃،یک متغیر تصادفی τ با خاصیتی است که برای هر t ، وقوع یا عدم وقوع رویداد τ = t فقط به مقادیر x بستگی دارد₁، ایکس₂، ایکس₃،ایکس_tوادشهود پشت این تعریف این است که در هر زمان خاص ، می توانید تا کنون به دنباله نگاه کنید و بگویید که آیا زمان آن رسیده است. یک نمونه در زندگی واقعی ممکن است زمانی باشد که یک قمارباز جدول قمار را ترک می کند ، که ممکن است تابعی از برنده های قبلی وی باشد (برای مثال ، او ممکن است فقط وقتی که شکسته می شود ترک کند) ، اما او نمی تواند انتخاب کند که برود یابر اساس نتیجه بازی هایی که هنوز بازی نشده است بمانید.

  در بعضی از زمینه ها ، مفهوم زمان متوقف کردن با نیاز به تنها وقوع یا عدم وقوع رویداد τ = t از نظر احتمالاً مستقل از x تعریف می شود._{t + 1}، ایکس_{t + 2}،اما نه این که با تاریخچه روند تا زمان t کاملاً مشخص شود. این یک وضعیت ضعیف تر از آنچه در بند بالا ظاهر می شود ، اما به اندازه کافی قوی است که در برخی از اثبات هایی که در آن زمان توقف استفاده می شود ، خدمت کند.

  One of the basic properties of martingales is that, if \( (X_t)_0> \) is a (sub-/super-) martingale and \tau is a stopping time, then the corresponding stopped process \( (X_t^\tau)_0>\) تعریف شده توسط \ (x_t^\ tau: = x_<\min\<\tau,t\>>\) همچنین یک مارتینگال (زیر/فوق العاده) است.

  مفهوم یک مارتینگال متوقف شده منجر به یک سری از قضایای مهم می شود ، از جمله ، به عنوان مثال ، قضیه توقف اختیاری که بیان می کند ، در شرایط خاص ، ارزش مورد انتظار یک مارتینگال در زمان توقف برابر با ارزش اولیه آن است. به عنوان مثال ، ما می توانیم از آن استفاده کنیم تا عدم امکان استراتژی های شرط بندی موفق برای یک قمارباز با یک عمر محدود و محدودیت خانه در شرط ها را اثبات کنیم. همچنین ببینید

  نابرابری آزوما ، حرکتی براون ، مارتینگال محدودیت مرکزی قضیه مارتینگیل قضیه قضیه Doob Martingale Doob's Martingale Convergence قضیه های محلی Martingale Semimartingale Martingale Dequrect Markov Chain Martingale (سیستم شرط بندی)

  ^ Balsara ، N. J. (1992). استراتژی های مدیریت پول برای معامله گران آینده. مالی ویلی. پ. 122. ISBN 0-471-52215-5.^ Mansuy ، Roger (ژوئن 2009)."منشأ کلمه" Martingale ". مجله الکترونیکی برای تاریخچه احتمال و آمار 5 (1). برگرفته از 10-22-2011.^ گریمت ، ج. ؛Stirzaker ، D. (2001). احتمال و فرآیندهای تصادفی (ویرایش سوم). انتشارات دانشگاه آکسفورد. ISBN 0-19-857223-9.

  "شکوه و بدبختی های Martingales". مجله الکترونیکی برای تاریخچه احتمال و آمار 5 (1). ژوئن 2009. کل شماره اختصاص داده شده به نظریه احتمال Martingale. ویلیامز ، دیوید (1991). احتمال با Martingales. انتشارات دانشگاه کمبریج. ISBN 0-521-40605-6. کلینرت ، هاگن (2004). انتگرال های مسیر در مکانیک کوانتومی ، آمار ، فیزیک پلیمر و بازارهای مالی (ویرایش 4). سنگاپور: علمی جهانی. ISBN 981-238-107-4. Siminelakis ، پاریس (2010)."Martingales و زمان توقف: استفاده از Martingales در به دست آوردن مرز و تجزیه و تحلیل الگوریتم ها" (PDF). دانشگاه آتن.